Расчет трехшарнирной арки


Расчет трехшарнирной арки

Для сплошной трехшарнирной арки  требуется аналитически определить моменты, поперечные и нормальные силы в   сечениях К1 и К2 от действия постоянной нагрузки.Арка очерчена по окружности. Дано:

 

Решение:

1) Определение реакций в трехшарнирной арке

Вертикальные реакции в арке определяются так же, как в балке. 

Горизонтальные реакции HA, HB  (распор) определяются как сумма моментов вокруг шарнира С правой и левой части арки, где   f – стрела подъема арки.

2) Определение усилий в арке

При очертании арки по окружности находим необходимые геометрические размеры арки:

— радиус кривизны арки: 

— ординаты сечений К1 и К2: 

— синус и косинус угла наклона касательной в сечениях  К1 и К2:

а) рассматриваем сечение К1

б) рассматриваем сечение К2

prosopromat.ru

Порядок расчета трехшарнирной арки

Трехшарнирная арка

  1. Определение опорных реакций в арке.

Арку решают совместно с балкой. То, что относится к арке, обозначается просто, а то, что к балке – с индексом «0».

Балку берут того же пролета и той же нагрузки. А в балке возникают только вертикальные реакции.

Определим вертикальные реакции для арки:

Для балки результат такой же. Вертикальные реакции и в балке, и в арке одинаковые.

Чтобы определить горизонтальные реакции, проецируем все силы на ось Х.

Чтобы найти распор, воспользуемся известным свойством шарнира С.

Составим уравнение

Теперь сносим сечение С на балку (шарнир сносить нельзя, балка будет мгновенно изменяема). Ищем момент относительно сечения С.

  Это  момент в  балке в сечении С под шарниром.

Сравним с формулой НА. Тогда:

Т.о. распор (и усилие в затяжке при ее наличии) обратно пропорционален стреле подъема арки.

  1. Определение внутренних силовых факторов в арке.

Делаем в арке сечение 1-1 и определяем в нем М1. Если в балке менялось расстояние по горизонтали, то в арке меняется и по вертикали – по оси у.

Спускаем сечение 1-1 на балку и определяем момент в этой точке.

Сравниваем формулы и получаем формулу для определения изгибающего момента М в арке:

В арке изгибающий момент меньше, чем в балке —  арка экономичнее по материалу.

Формула для определения продольной силы N:

Формула для определения поперечной силы Q:

Для расчета арок требуется знать уравнение криволинейной оси арки. Оно зависит от ее очертания. Уравнения криволинейных осей арок смотреть — здесь.

prosopromat.ru

Приложение 1. Пример расчета трехшарнирной клееной арки кругового очертания.

Конструирование арок.

Конструктивное решение: трехшарнирная клеедеревянная арка кругового очертания постоянного прямоугольного сечения без затяжки. Пролет - 15м. Высота - 4.85м. Материал - древесина 2 сорта. Шаг арок – 3м. Район строительства - Тюмень.

Определение геометрических размеров (рис. 1).

Начало прямоугольных координат принимается в центре левого опорного узла арки.

Определяем радиус арки:

r = (l2+4f2)/(8f)=(152+4*4.852)/(8*4.85)=8.22 м.

Длина дуги арки:

S=

Центральный угол дуги полуарки:

sin=l/(2r)=15/(2*8.22)=0.9, этому соответствует =660; cos=0.41;

Рис. 1. К расчету круговой арки.

Сбор нагрузок.

Собственный вес арки:

==11.27 кг/м2,

где gн – нормативная нагрузка от покрытия, кровли и утеплителя;

рн – нормативная снеговая нагрузка;

ксв – коэффициент собственного веса (для арок принимается равным 4-5)

Табличный сбор нагрузок без учета криволинейности элемента.

Таблица 1

Наименование нагрузок

Нормативная, кг/м2

Коэффициент надежности по нагрузке f

Расчетная, кг/м2

Кровля (металлочерепица)

5

1,2

5,25

Покрытие (рабочий досчатый настил t=35мм.)

15

1,1

16,5

Покрытие (досчатый настил t=25мм.)

10,5

1,1

11,55

Утеплитель δ=100мм, 2 слоя пароизоляции

20

1,2

24

Арка

11,27

1,1

12,40

Итого

q=61,77

q=69,70

Снег по [2] п. 5.2, табл. 4

126

180

Всего

qн =187,77

qр =249,70

Расчетная нагрузка с учетом разницы между длиной дуги арки и ее проекцией (S/l).

Постоянная =(5.25+16.50+11.55+24)*S/l=57.30*18.7/15=71.43 кг/м2

Временная р=с*р*2=0,4*180*2,25=162 кг/м2,

где с=l/(8f) – коэффициент снегозадержания для криволинейных покрытий.

Расчетная нагрузка на 1 п.м. арки:

Постоянная g=(71.43+12.40)*3.00=251.49 кг/м.

Временная р=162*3.00=486.00 кг/м.

Ветровая нагрузка не учитывается, т.к. разгружает конструкцию.

Вычисления усилий приводятся только в основных расчетных сечениях. Полупролет арки делитсяна четыре равных части, образующих пять сечений от x=0 до x=7,5 м. Согласно прил.3 п.2 [2] определяем координаты (х,у) дополнительного сечения арки, соответствующее φ=50. Координаты сечений, углы наклона касательных к оси полуарки в этих сечениях определяются по формулам:

у=

где Д=r-f=8.22-4.85=3.37м.

=arcsin((l/2-x)/r).

Геометрические величины оси левой полуарки.

Таблица 2

Координаты

0

0’

1

2

3

4

Х,м

0

1,203

1,875

3,75

5,625

7,5

У,м

0

1,914

2,624

3,945

4,633

4,85

φ

66

50

43

27

13

0

Статический расчет.

Сочетания нагрузок (рис.1 прил.2 методических указаний):

1. Постоянная + снег по всему пролету (по треугольно распределенной форме)

(см рис1а.)

2. Постоянная + снег слева (по треугольно распределенной форме) (см рис1б)

3. Постоянная + снег справа (по треугольно распределенной форме) (см рис1в)

а) от равномерно распределенной нагрузки по всему пролету (постоянной):

Определяем опорные реакции:

VА=VВ=ql/2=251.49*15/2=1886.18 кг.

Н=ql2/8f=251.49*152/8*4.85=1458.38 кг.

Определяем усилия:

Мх=VА=Бx-qx2/2-Hy;

Qx=(VA=Б-qx)cos-Hsin;

Nx=(VA=Б-qx)sin+Hcos;

б) От распределенной по треугольнику нагрузке на полупролете слева р=486.00 кг/м.

VА=5рl’/24=5*486.00*12.594/24=1275.14 кг.

VВ=рl’/24=486.00*12.594/24=255.03 кг.

Н=l’2*p/(48f)=12.2942*486.00/(48*4.85)=331.12 кг.,

где l’=l-2х=15.000-2*1.203=12.594 м.

На участке 0≤х≥l/2: На участке l/2≤х≥l:

Мх= VАx-px2/2+px3/(3l’)-Hy; Мх= VБ (l’-x) -Hy;

Qx=(VA-px+px2/l’)cos-Hsin; Qx=-VБcos+Hsin

Nx=(VA-px+px2/l’)sin+Hcos; Nx=-VБsin-Hcos;

Примечание:

1) при определении усилий Мх Qx Nx значения координаты (y) в сечениях принимаем согласно табл.2, значения координаты х =хn -1.203,

где хn –координата х в n сечении.

  1. при определении усилий в опорных шарнирах принимаем х=1.203 ; р=0

в) От распределенной по треугольнику нагрузке на полупролете справа р=486.00 кг/м.

Расчет выполняется аналогично п.б), при этом

VА=рl’/24=486.00*12.594/24=255.03 кг.

Vв=5рl’/24=5*486.00*12.594/24=1275.14 кг.

Н=l’2*p/(48f)=12.2942*486.00/(48*4.85)=331.12 кг.

г) Усилия от распределенной по треугольнику нагрузке на всем пролете определяются путем суммирования усилий от снеговых нагрузок на левом и правом полупролетах арки.

Вертикальная опорная реакция арки V определяется из условия равенства нулю изгибающего момента в противоположном опорном шарнире. Горизонтальная опорная реак­ция Н, численно равная распору арки без затяжки, определяется из условия равенства нулю изгибающего момента в коньковом шарнире.

Усилия в арке определяются методами строительной механики в основных расчетных сечениях. Промежуточные вычисления опускаются.

Результаты их сводятся в таблицу 3.

Эпюры усилий от сочетания нагрузок М, Q, N приведены в прил. 2 рис.2. методических указаний.

Усилия в сечениях арки

Таблица 3

Сечение

Усилия

от постоян-ной нагрузки

От снеговой по треугольно распределенной форме.

треугольной распределенной

Расчетные

на левом полупролете

на правом полупролете

на всем пролете

1

2

3

4

5

6

7

М (кг м)

0

0

0

0

0

0

0

0’

-704.24

-633.76

-633.76

-1267.52

-1337.96

-1971.76

1

-732.27

-117.80

-697.48

-815.28

-850.07

-1547.55

2

-448.42

577.66

-656.71

-79.05

129.24

-527.47

3

-125.56

465.21

-406.34

58.87

339.65

-66.69

4

0

0

0

0

0

0

5

-125.56

-406.34

465.21

58.87

-531.90

-66.69

6

-448.42

-656.71

577.66

-79.05

-1105.13

-527.47

7

-732.27

-697.48

-117.80

-815.28

-1429.75

-1547.55

8’

-704.24

-633.76

-633.76

-1267.52

-1337.96

-1971.76

8

0

0

0

0

0

0

Q (кг)

0

-565.12

216.15

198.76

414.91

-348.97

-150.21

0’

-99.24

565.99

89.72

655.71

466.75

556.47

1

39.99

480.65

39.31

519.96

520.64

559.95

2

178.21

105.96

-76.91

29.05

284.17

207.26

3

131.40

-190.79

-174.01

-364.80

-59.39

-233.40

4

0

255.03

255.03

255.03

255.03

255.03

5

131.40

-174.01

-190.79

-364.80

-42.61

-233.40

6

178.21

-76.91

105.96

29.05

101.30

207.26

7

39.99

39.31

480.65

519.96

79.30

559.95

8’

-99.24

89.72

565.99

655.71

-9.52

556.47

8

-565.12

198.76

216.15

414.91

-366.36

-150.21

N (кг)

0

2316.29

1299.58

-367.66

931.92

3615.87

3248.21

0’

2150.56

1189.65

-408.20

781.45

3340.21

2932.01

1

2031.37

900.96

-416.10

484.86

2932.33

2516.23

2

1727.58

425.62

-410.81

14.81

2153.20

1742.39

3

1527.08

295.78

-380.00

-84.22

1822.86

1442.86

4

1458.38

331.12

331.12

331.12

1127.26

1127.26

5

1527.08

-380.00

295.78

-84.22

1147.08

1442.86

6

1727.58

-410.81

425.62

14.81

1316.77

1742.39

7

2031.37

-416.10

900.96

484.86

1615.27

2516.23

8’

2150.56

-408.20

1189.65

781.45

1742.36

2932.01

8

2316.29

-367.66

1299.58

931.92

1948.63

3248.21

Подбор сечения арок.

Подбор сечения производим по максимальным усилиям:

Мmax=-1971.76 кг м., N соотв.=2932.01кг.

Оптимальная высота поперечного сечения арки находится:

hопт=(1/30-1/40)l=(0.5-0.375) м.

Требуемая высота сечения арки находится из условия устойчивости

в плоскости кривизны:

= ,

где =120 – предельная гибкость, принимаемая по[1]табл.14;

l0=0,58S - расчетная длина элемента;

i =0.29h - радиус сечения элемента.

Отсюда hтр =

Ширину сечения арки принимаем b=0.1м. по сортаменту пиломатериалов, рекомендуемых для клееных конструкций. [5] прил. 1

Толщину досок принимаем, а=2.5 см, а после острожки с двух сторон, а=2.1 см.

Поперечное сечение принимаем прямоугольным , постоянной высоты и ширины. Компонуем из 17 досок сечением 10х2.1 см, тогда высота сечения h=17*2.1=35.7=36 см.

Принятое сечение b x h=10x36 см.

Проверка нормальных напряжений при сжатии с изгибом.

Расчетное сопротивление древесины при сжатии с учетом коэффициентов условий работы при высоте сечения mб=1 и толщине слоев mсл=1.05 [1], табл. 7, 8 Rc=130*1*1.05=136.5 кг/см2.

Проверку следует производить по формуле:

G=,

Fрасч = b x h =10x36 =360 cм2

Wрасч = bh3/6 =10x362/6 =2160 см3

МД==1-N/RcFбр; =

(при гибкости элемента 70.)

 = 1-N2/(ARcFбр) = 1-2932.01*103.882/(3000*136.5*360) = 0.79

МД = 197176/0.79 = 249590 кг см

G=

Вывод: прочность сечения достаточна. Запас по прочности 9.4 %

Проверка скалывающих напряжений.

Проверку производим по Qmах=559.95 кг.

Rск=130 кг/см2 (табл.3 [2])

Статический момент и момент инерции сечения арки:

S = bh3/8 =10*362/8=1620 cм3;

J = bh4/12 =10*363/12=38880 см4.

Максимальное напряжение скалывания: =

Проверка устойчивости плоской формы деформирования.

Проверяем сечение на устойчивость из плоскости при:

Мmax=-1971.76 кг м., N соотв.=2932.01кг

Проверку следует производить по формуле:

G= 1,

где М - коэффициент, определяемый по формуле:

м=140,

где lp =S/2=1870/2=935cм - расстояние между опорными сечениями элемента;

kф =1.13 - коэффициент, зависящий от формы эпюры изгибающих моментов на участке lp,

определяемый [1] по табл.2 прил.4.

м = 140*102*1.13/935*36 = 0.47.

Гибкость полуарки из ее плоскости у и коэффициент продольного изгиба :

у = lp/i=935/(0.29*10) = 322.4

 = A/у2=3000/322.42 = 0.029

Т.к на участке lp из плоскости деформирования имеются закрепления в виде прогонов, коэффициент м следует умножать на коэффициент kpм и коэффициент  следует умножать на коэффициент kpN по формулам:

kpM = 0.142lp/h+1.76h/lp+1.4p = 0.142*935/36+1.76*36/935+1.4*1.152 = 5.37

kpN = 0.75+0.06(lp/h)2+0.6plp/h = 0.75+0.06*(935/36)2+0.6*1.152*935/36 = 59.18

Проверка: ,

Вывод: следовательно, устойчивость плоской формы деформирования обеспечена.

Расчет узлов арки.

Опорный узел.

Опорный узел решается с помощью стального башмака из опорного листа и двусторонних фасонок с отверстиями для болтов. Он крепится к поверхности опоры нормальной к оси полуарки. Расчет узла производится на действие максимальных продольной N=3248.21 кг и поперечной Q=366.36 кг/м сил.

Проверка торца полуарки на смятие продольной силой.

Опирание в узлах выполняется неполным сечением высотой hб ≥ 0.4h= 0.4*36 = 14.4 см.

Принимаем hб =15 см.

Площадь смятия А= bhб =10*15=150 см2.

Угол смятия =00.

Расчетное сопротивление смятию вдоль волокон древесины Rc=130 кг/см2.

Напряжение ==

Определение числа болтов крепления конца полуарки к фасонкам.

Принимаются болты d=2 см. Они воспринимают поперечную силу и работают симметрично при ширине сечения b=c=10см, при двух швах nш =2 и угле смятия =900. Коэффициент К =0.55.

Несущая способность болта в одном шве:

по изгибу болта: Ти=250d2=250*22*=741 кг

по смятию древесины: Тс=50сdK=50*10*2*0.55=550 кг = Т

Требуемое число болтов: n=.

Принимаем 2 болта d=20 мм.

Определение толщины опорного листа:

Лист работает на изгиб от давления торца полуарки и реактивного давления фундамента. Длина торца l1=b=10см. Длина листа l2=15см. Расчетная ширина сечения b=1см.Давление торца q1= Gcм=21.65 кг/см.

Давление фундамента q2=q1l1/l2=21.65*10/15=14.43 кг/см.

Изгибающий момент М=(q2l22-q1l12)/8=(14.43*152-21.65*102)/8=135.22 кг см.

Расчетное сопрoтивление стали R =2450 кг/см2.

Требуемый момент сопротивления Wтр = М/ R=135.22/2450=0.055 cм3.

Требуемая толщина листа тр ==

Принимаем толщину листа =6 мм.

Коньковый узел.

Узел выполнен лобовым упором полуарок одну в другую с перекрытием стыка двумя деревянными накладками сечением 14х5 см.

Накладки в коньковом узле рассчитывают на поперечную силу при не симметричном загружении арки Q=255.03 кг. Накладки работают на поперечный изгиб.

Изгибающий момент накладки.

Ми = Qe1/2=255.03*18/2 = 2295.27 кг см.,

где е1=S1=18 см. – расстояние между стальными нагелями d=12 мм.

S1≥7d=7*1.2=8.4 см, поскольку стык работает на растяжение, нагели располагаем в два ряда,

е1 = 2*S1 =18 см.

S2≥3,5d=3,5*1.2=4,2 см принимаем 6 см.

S3≥3d=3*1.2=3,6 см принимаем 4 см.

Проверка торца полуарки на смятие продольной силой.

Проверяем по максимальному усилию, действующему в коньке, при неблагоприятном нагружении N=1127.26 кг.

Проверка:

=N/Fсм≤ Rсм 

Rсм =30 кг/см2

Fсм =14*5=70 см2

=1127.26/70=16.10 кг/см2 ≤30 кг/см2 – условие выполнено.

В коньковом узле количество нагелей по конструктивным требованиям должно быть не менее 3. В нашем случае принимаем 3 стальных нагеля и проверяем их несущую способность.

Усилия, действующие на нагеля:

R1=Q/(1-e1/e2)=255.03/(1-18/54)=382.55 кг

R2=Q/(e2/e1-1)=255.03/(54/18-1)=127.52 кг

Несущая способность нагеля из условия изгиба нагеля на один условный срез:

T=(180d2+2a2)≤Тс = nT

T = (180*1.22+2*102) ≤ 2*(250*1.22 )*

459.2 ≤ 602 кг.

Расчетную несущую способность нагелей при направлении передаваемого нагелем усилия под углом к волокнам следует умножать на величину при расчете нагелей на изгиб, угол следует принимать равным большему из углов смятия нагелем элементов, прилегающих к рассматриваемому шву, в нашем случае =900, и k=0,7.

Расчетная несущая способность соединения:

Т=250d2 =250*1.22 =360 кг.

Tc= nT=2*360*=602.4 кг.

Усилие, воспринимаемое двумя нагелями в ближайшем к коньковому узлу ряду:

N1=2Tc =2*602.4=1204.8 > R1 =382.55 – несущая способность обеспечена.

а)

б)

в)

Рис.1 Схема сочетаний постоянных и снеговых нагрузок, действующих на арку.

studfiles.net

Приложение 1. Пример расчета трехшарнирной клееной арки кругового очертания.

Конструирование арок.

Конструктивное решение: трехшарнирная клеедеревянная арка кругового очертания постоянного прямоугольного сечения без затяжки. Пролет - 15м. Высота - 4.85м. Материал - древесина 2 сорта. Шаг арок – 3м. Район строительства - Тюмень.

Определение геометрических размеров (рис. 1).

Начало прямоугольных координат принимается в центре левого опорного узла арки.

Определяем радиус арки:

r = (l2+4f2)/(8f)=(152+4*4.852)/(8*4.85)=8.22 м.

Длина дуги арки:

S=

Центральный угол дуги полуарки:

sin=l/(2r)=15/(2*8.22)=0.9, этому соответствует =660; cos=0.41;

Рис. 1. К расчету круговой арки.

Сбор нагрузок.

Собственный вес арки:

==11.27 кг/м2,

где gн – нормативная нагрузка от покрытия, кровли и утеплителя;

рн – нормативная снеговая нагрузка;

ксв – коэффициент собственного веса (для арок принимается равным 4-5)

Табличный сбор нагрузок без учета криволинейности элемента.

Таблица 1

Наименование нагрузок

Нормативная, кг/м2

Коэффициент надежности по нагрузке f

Расчетная, кг/м2

Кровля (металлочерепица)

5

1,2

5,25

Покрытие (рабочий досчатый настил t=35мм.)

15

1,1

16,5

Покрытие (досчатый настил t=25мм.)

10,5

1,1

11,55

Утеплитель δ=100мм, 2 слоя пароизоляции

20

1,2

24

Арка

11,27

1,1

12,40

Итого

q=61,77

q=69,70

Снег по [2] п. 5.2, табл. 4

126

180

Всего

qн =187,77

qр =249,70

Расчетная нагрузка с учетом разницы между длиной дуги арки и ее проекцией (S/l).

Постоянная =(5.25+16.50+11.55+24)*S/l=57.30*18.7/15=71.43 кг/м2

Временная р=с*р*2=0,4*180*2,25=162 кг/м2,

где с=l/(8f) – коэффициент снегозадержания для криволинейных покрытий.

Расчетная нагрузка на 1 п.м. арки:

Постоянная g=(71.43+12.40)*3.00=251.49 кг/м.

Временная р=162*3.00=486.00 кг/м.

Ветровая нагрузка не учитывается, т.к. разгружает конструкцию.

Вычисления усилий приводятся только в основных расчетных сечениях. Полупролет арки делитсяна четыре равных части, образующих пять сечений от x=0 до x=7,5 м. Согласно прил.3 п.2 [2] определяем координаты (х,у) дополнительного сечения арки, соответствующее φ=50. Координаты сечений, углы наклона касательных к оси полуарки в этих сечениях определяются по формулам:

у=

где Д=r-f=8.22-4.85=3.37м.

=arcsin((l/2-x)/r).

Геометрические величины оси левой полуарки.

Таблица 2

Координаты

0

0’

1

2

3

4

Х,м

0

1,203

1,875

3,75

5,625

7,5

У,м

0

1,914

2,624

3,945

4,633

4,85

φ

66

50

43

27

13

0

Статический расчет.

Сочетания нагрузок (рис.1 прил.2 методических указаний):

1. Постоянная + снег по всему пролету (по треугольно распределенной форме)

(см рис1а.)

2. Постоянная + снег слева (по треугольно распределенной форме) (см рис1б)

3. Постоянная + снег справа (по треугольно распределенной форме) (см рис1в)

а) от равномерно распределенной нагрузки по всему пролету (постоянной):

Определяем опорные реакции:

VА=VВ=ql/2=251.49*15/2=1886.18 кг.

Н=ql2/8f=251.49*152/8*4.85=1458.38 кг.

Определяем усилия:

Мх=VА=Бx-qx2/2-Hy;

Qx=(VA=Б-qx)cos-Hsin;

Nx=(VA=Б-qx)sin+Hcos;

б) От распределенной по треугольнику нагрузке на полупролете слева р=486.00 кг/м.

VА=5рl’/24=5*486.00*12.594/24=1275.14 кг.

VВ=рl’/24=486.00*12.594/24=255.03 кг.

Н=l’2*p/(48f)=12.2942*486.00/(48*4.85)=331.12 кг.,

где l’=l-2х=15.000-2*1.203=12.594 м.

На участке 0≤х≥l/2: На участке l/2≤х≥l:

Мх= VАx-px2/2+px3/(3l’)-Hy; Мх= VБ (l’-x) -Hy;

Qx=(VA-px+px2/l’)cos-Hsin; Qx=-VБcos+Hsin

Nx=(VA-px+px2/l’)sin+Hcos; Nx=-VБsin-Hcos;

Примечание:

1) при определении усилий Мх Qx Nx значения координаты (y) в сечениях принимаем согласно табл.2, значения координаты х =хn -1.203,

где хn –координата х в n сечении.

  1. при определении усилий в опорных шарнирах принимаем х=1.203 ; р=0

в) От распределенной по треугольнику нагрузке на полупролете справа р=486.00 кг/м.

Расчет выполняется аналогично п.б), при этом

VА=рl’/24=486.00*12.594/24=255.03 кг.

Vв=5рl’/24=5*486.00*12.594/24=1275.14 кг.

Н=l’2*p/(48f)=12.2942*486.00/(48*4.85)=331.12 кг.

г) Усилия от распределенной по треугольнику нагрузке на всем пролете определяются путем суммирования усилий от снеговых нагрузок на левом и правом полупролетах арки.

Вертикальная опорная реакция арки V определяется из условия равенства нулю изгибающего момента в противоположном опорном шарнире. Горизонтальная опорная реак­ция Н, численно равная распору арки без затяжки, определяется из условия равенства нулю изгибающего момента в коньковом шарнире.

Усилия в арке определяются методами строительной механики в основных расчетных сечениях. Промежуточные вычисления опускаются.

Результаты их сводятся в таблицу 3.

Эпюры усилий от сочетания нагрузок М, Q, N приведены в прил. 2 рис.2. методических указаний.

Усилия в сечениях арки

Таблица 3

Сечение

Усилия

от постоян-ной нагрузки

От снеговой по треугольно распределенной форме.

треугольной распределенной

Расчетные

на левом полупролете

на правом полупролете

на всем пролете

1

2

3

4

5

6

7

М (кг м)

0

0

0

0

0

0

0

0’

-704.24

-633.76

-633.76

-1267.52

-1337.96

-1971.76

1

-732.27

-117.80

-697.48

-815.28

-850.07

-1547.55

2

-448.42

577.66

-656.71

-79.05

129.24

-527.47

3

-125.56

465.21

-406.34

58.87

339.65

-66.69

4

0

0

0

0

0

0

5

-125.56

-406.34

465.21

58.87

-531.90

-66.69

6

-448.42

-656.71

577.66

-79.05

-1105.13

-527.47

7

-732.27

-697.48

-117.80

-815.28

-1429.75

-1547.55

8’

-704.24

-633.76

-633.76

-1267.52

-1337.96

-1971.76

8

0

0

0

0

0

0

Q (кг)

0

-565.12

216.15

198.76

414.91

-348.97

-150.21

0’

-99.24

565.99

89.72

655.71

466.75

556.47

1

39.99

480.65

39.31

519.96

520.64

559.95

2

178.21

105.96

-76.91

29.05

284.17

207.26

3

131.40

-190.79

-174.01

-364.80

-59.39

-233.40

4

0

255.03

255.03

255.03

255.03

255.03

5

131.40

-174.01

-190.79

-364.80

-42.61

-233.40

6

178.21

-76.91

105.96

29.05

101.30

207.26

7

39.99

39.31

480.65

519.96

79.30

559.95

8’

-99.24

89.72

565.99

655.71

-9.52

556.47

8

-565.12

198.76

216.15

414.91

-366.36

-150.21

N (кг)

0

2316.29

1299.58

-367.66

931.92

3615.87

3248.21

0’

2150.56

1189.65

-408.20

781.45

3340.21

2932.01

1

2031.37

900.96

-416.10

484.86

2932.33

2516.23

2

1727.58

425.62

-410.81

14.81

2153.20

1742.39

3

1527.08

295.78

-380.00

-84.22

1822.86

1442.86

4

1458.38

331.12

331.12

331.12

1127.26

1127.26

5

1527.08

-380.00

295.78

-84.22

1147.08

1442.86

6

1727.58

-410.81

425.62

14.81

1316.77

1742.39

7

2031.37

-416.10

900.96

484.86

1615.27

2516.23

8’

2150.56

-408.20

1189.65

781.45

1742.36

2932.01

8

2316.29

-367.66

1299.58

931.92

1948.63

3248.21

Подбор сечения арок.

Подбор сечения производим по максимальным усилиям:

Мmax=-1971.76 кг м., N соотв.=2932.01кг.

Оптимальная высота поперечного сечения арки находится:

hопт=(1/30-1/40)l=(0.5-0.375) м.

Требуемая высота сечения арки находится из условия устойчивости

в плоскости кривизны:

= ,

где =120 – предельная гибкость, принимаемая по[1]табл.14;

l0=0,58S - расчетная длина элемента;

i =0.29h - радиус сечения элемента.

Отсюда hтр =

Ширину сечения арки принимаем b=0.1м. по сортаменту пиломатериалов, рекомендуемых для клееных конструкций. [5] прил. 1

Толщину досок принимаем, а=2.5 см, а после острожки с двух сторон, а=2.1 см.

Поперечное сечение принимаем прямоугольным , постоянной высоты и ширины. Компонуем из 17 досок сечением 10х2.1 см, тогда высота сечения h=17*2.1=35.7=36 см.

Принятое сечение b x h=10x36 см.

Проверка нормальных напряжений при сжатии с изгибом.

Расчетное сопротивление древесины при сжатии с учетом коэффициентов условий работы при высоте сечения mб=1 и толщине слоев mсл=1.05 [1], табл. 7, 8 Rc=130*1*1.05=136.5 кг/см2.

Проверку следует производить по формуле:

G=,

Fрасч = b x h =10x36 =360 cм2

Wрасч = bh3/6 =10x362/6 =2160 см3

МД==1-N/RcFбр; =

(при гибкости элемента 70.)

 = 1-N2/(ARcFбр) = 1-2932.01*103.882/(3000*136.5*360) = 0.79

МД = 197176/0.79 = 249590 кг см

G=

Вывод: прочность сечения достаточна. Запас по прочности 9.4 %

Проверка скалывающих напряжений.

Проверку производим по Qmах=559.95 кг.

Rск=130 кг/см2 (табл.3 [2])

Статический момент и момент инерции сечения арки:

S = bh3/8 =10*362/8=1620 cм3;

J = bh4/12 =10*363/12=38880 см4.

Максимальное напряжение скалывания: =

Проверка устойчивости плоской формы деформирования.

Проверяем сечение на устойчивость из плоскости при:

Мmax=-1971.76 кг м., N соотв.=2932.01кг

Проверку следует производить по формуле:

G= 1,

где М - коэффициент, определяемый по формуле:

м=140,

где lp =S/2=1870/2=935cм - расстояние между опорными сечениями элемента;

kф =1.13 - коэффициент, зависящий от формы эпюры изгибающих моментов на участке lp,

определяемый [1] по табл.2 прил.4.

м = 140*102*1.13/935*36 = 0.47.

Гибкость полуарки из ее плоскости у и коэффициент продольного изгиба :

у = lp/i=935/(0.29*10) = 322.4

 = A/у2=3000/322.42 = 0.029

Т.к на участке lp из плоскости деформирования имеются закрепления в виде прогонов, коэффициент м следует умножать на коэффициент kpм и коэффициент  следует умножать на коэффициент kpN по формулам:

kpM = 0.142lp/h+1.76h/lp+1.4p = 0.142*935/36+1.76*36/935+1.4*1.152 = 5.37

kpN = 0.75+0.06(lp/h)2+0.6plp/h = 0.75+0.06*(935/36)2+0.6*1.152*935/36 = 59.18

Проверка: ,

Вывод: следовательно, устойчивость плоской формы деформирования обеспечена.

Расчет узлов арки.

Опорный узел.

Опорный узел решается с помощью стального башмака из опорного листа и двусторонних фасонок с отверстиями для болтов. Он крепится к поверхности опоры нормальной к оси полуарки. Расчет узла производится на действие максимальных продольной N=3248.21 кг и поперечной Q=366.36 кг/м сил.

Проверка торца полуарки на смятие продольной силой.

Опирание в узлах выполняется неполным сечением высотой hб ≥ 0.4h= 0.4*36 = 14.4 см.

Принимаем hб =15 см.

Площадь смятия А= bhб =10*15=150 см2.

Угол смятия =00.

Расчетное сопротивление смятию вдоль волокон древесины Rc=130 кг/см2.

Напряжение ==

Определение числа болтов крепления конца полуарки к фасонкам.

Принимаются болты d=2 см. Они воспринимают поперечную силу и работают симметрично при ширине сечения b=c=10см, при двух швах nш =2 и угле смятия =900. Коэффициент К =0.55.

Несущая способность болта в одном шве:

по изгибу болта: Ти=250d2=250*22*=741 кг

по смятию древесины: Тс=50сdK=50*10*2*0.55=550 кг = Т

Требуемое число болтов: n=.

Принимаем 2 болта d=20 мм.

Определение толщины опорного листа:

Лист работает на изгиб от давления торца полуарки и реактивного давления фундамента. Длина торца l1=b=10см. Длина листа l2=15см. Расчетная ширина сечения b=1см.Давление торца q1= Gcм=21.65 кг/см.

Давление фундамента q2=q1l1/l2=21.65*10/15=14.43 кг/см.

Изгибающий момент М=(q2l22-q1l12)/8=(14.43*152-21.65*102)/8=135.22 кг см.

Расчетное сопрoтивление стали R =2450 кг/см2.

Требуемый момент сопротивления Wтр = М/ R=135.22/2450=0.055 cм3.

Требуемая толщина листа тр ==

Принимаем толщину листа =6 мм.

Коньковый узел.

Узел выполнен лобовым упором полуарок одну в другую с перекрытием стыка двумя деревянными накладками сечением 14х5 см.

Накладки в коньковом узле рассчитывают на поперечную силу при не симметричном загружении арки Q=255.03 кг. Накладки работают на поперечный изгиб.

Изгибающий момент накладки.

Ми = Qe1/2=255.03*18/2 = 2295.27 кг см.,

где е1=S1=18 см. – расстояние между стальными нагелями d=12 мм.

S1≥7d=7*1.2=8.4 см, поскольку стык работает на растяжение, нагели располагаем в два ряда,

е1 = 2*S1 =18 см.

S2≥3,5d=3,5*1.2=4,2 см принимаем 6 см.

S3≥3d=3*1.2=3,6 см принимаем 4 см.

Проверка торца полуарки на смятие продольной силой.

Проверяем по максимальному усилию, действующему в коньке, при неблагоприятном нагружении N=1127.26 кг.

Проверка:

=N/Fсм≤ Rсм 

Rсм =30 кг/см2

Fсм =14*5=70 см2

=1127.26/70=16.10 кг/см2 ≤30 кг/см2 – условие выполнено.

В коньковом узле количество нагелей по конструктивным требованиям должно быть не менее 3. В нашем случае принимаем 3 стальных нагеля и проверяем их несущую способность.

Усилия, действующие на нагеля:

R1=Q/(1-e1/e2)=255.03/(1-18/54)=382.55 кг

R2=Q/(e2/e1-1)=255.03/(54/18-1)=127.52 кг

Несущая способность нагеля из условия изгиба нагеля на один условный срез:

T=(180d2+2a2)≤Тс = nT

T = (180*1.22+2*102) ≤ 2*(250*1.22 )*

459.2 ≤ 602 кг.

Расчетную несущую способность нагелей при направлении передаваемого нагелем усилия под углом к волокнам следует умножать на величину при расчете нагелей на изгиб, угол следует принимать равным большему из углов смятия нагелем элементов, прилегающих к рассматриваемому шву, в нашем случае =900, и k=0,7.

Расчетная несущая способность соединения:

Т=250d2 =250*1.22 =360 кг.

Tc= nT=2*360*=602.4 кг.

Усилие, воспринимаемое двумя нагелями в ближайшем к коньковому узлу ряду:

N1=2Tc =2*602.4=1204.8 > R1 =382.55 – несущая способность обеспечена.

а)

б)

в)

Рис.1 Схема сочетаний постоянных и снеговых нагрузок, действующих на арку.

studfiles.net

1.11. Расчет трехшарнирной арки (задача № 3)

Для трехшарнирной арки с очертанием оси по квадратной па­раболе (рис. 1.25, а) необходимо:

1. Определение вертикальных опорных реакций и распора;

2. Определение внутренних усилий МK , QK и NK в сечении K-K от нагрузок P и q, аналитически;

3. Построить линии влияния изгибающего момента МK , попе­речной силы QK и продольной силы NK для сечения K-K;

4. Вычислить величины МK , QK и NK по линиям влияния от заданной нагрузки P и q и сравнить их со значениями, определен­ными аналитически (п.2 задания).

Решение

1. Определение вертикальных опорных реакций и распора

Предварительно необходимо начертить строго в масштабе рас­четную схему оси арки, ординаты которой должны быть вычислены по ее уравнению:

.

В нашем случае:

при zK = 2 м,   yK = м;

при z = 4 м, ,   y = м;

при z = 6 м, ,   y = м; и т.д.

Вертикальные опорные реакции VA, VB и горизонтальные опор­ные реакции (распор) HA и HB вычисляем из уравнений равовесия системы. В данном примере имеем:

кН;

, кН;

, кН;

S z = 0,   HA - HB = 0,     HA = HB = 14 кН.

Для проверки правильности определения опорных реакций сос­тавим следующие неиспользованные уравнения равновесия систе­мы:

,

22 - 2×8 - 40 + 34 = 0,     56 - 56 = 0,     0 = 0;

,

-34×8 + 14×8 + 40×4 = 0,     -272 + 112 + 160 = 0,     0 = 0.

Уравнения тождественно удовлетворяются. Следовательно, вер­тикальные опорные реакции и распор определены верно.

2. Определение внутренних усилий мk , qk и nk возникающих в сечении k-k от нагрузок q и p, аналитически

Внутренние усилия МK , QK и NK , возникающие в заданном сечении от нагрузок q и P, вычисляем по формулам (1.18), (1.22), (1.23) соответственно:

,

, (1.24)

,

где ,- изгибающий момент и поперечная сила в сеч. K-K двухопорной балки с пролетом, равным пролету трехшарнирной арки и загруженным той же нагрузкой; yК - ордината оси трех­шарнирной арки в сечении K-K; jК - угол наклона касательной к оси трехшарнирной арки в сечении K-K.

При этом правило знаков для М и Q принимаем такое же, что и в балках, а для продольной силы N в арочных системах поло­жительным принято считать сжатие.

В рассматриваемом примере:

;

;

м.

Подставим найденные значения , , cosjK , sinjK  и yK в формулы, получим величины внутренних усилий, возникающих в сечении K-K от нагрузок q и P:

кН×м;

кН;

кН.

3. Построение линий влияния мk , qk и nk

В рассматриваемом примере все линии влияния строим спосо­бом нулевых точек.

Линии влияния внутренних усилий MK, QK и NK могут быть получены сложением известных линий влияния балочных момен­тов и балочных поперечных сил, а также линии влияния распораН, умноженных на соответствующие коэффициенты выра­жений (1.18), (1.22), (1.23), что приводит к простым правилам по­строения линий влияния внутренних усилий в арках.

Ввиду того, что все слагаемые в этих формулах представлены кусочно-линейными функциями, определим абсциссы тех точек, в кторых ординаты линий влияний влияний равны нулю. Эти точки называются нулевыми.

Очевидно, что к их числу относятся опорные точки шарнирной арки. Далее предположим, что при действии единичного груза Р = = 1 в точке, принадлежащей арке с абсциссой zOM (см. рис. 1.25, а), вектор равнодействующих всех внешних сил, действующих в части системы, расположенной левее точки K, проходит через эту точку, тогда, очевидно, что изгибающий момент в сечении K в этом слу­чае будет равен нулю. Для определения величины zOM, воспользуясь геометрическими соображениями (рис. 1.25, а), имеем:

,

откуда:

.

Далее предположим, что, если единичная сила Р = 1 будет рас­положена в точке, принадлежащей арке, с абсциссой zOQ, а вектор равнодействующей всех внешних сил, действующих левее сечения K, параллелен касательной оси арки, проходящей через точку K, то поперечная сила в этом сечении будет равна нулю. Из рис. 1.25, а, имеем:

,

откуда:

.

Для определения нулевой точки линии влияния NK , нужно оп­ределить абсциссу точки приложения единичной силы Р = 1, при котором нормальная внутренняя сила в сечении K равна нулю. Следовательно, нам необходимо определить такую точку приложе­ния единичной силы Р = 1, при котором общий вектор равнодейст­вующей всех сил, расположенных левее сечения K, имеет направле­ние параллельное нормали оси арки, проведенной через сечение K (рис. 1.25, а). Таким образом:

,

откуда:

.

3.1. Построение линий влияния MK . Линию влияния изгибающего момента MK для сечения K-K строим в следующем порядке:

1. Определяем положение нулевой точки О линии влияния MK на ее оси абсцисс. Для этого проводим на схеме трехшарнирной арки прямые АK и ВC и точку пересечения их (О) сносим по вертикали на ось абсцисс линии влияния (точка О на рис. 1.25, б).

Расстояние этой точки от левой опоры находим по формуле

м,

где .

2. Зная положение нулевой точки О, проводим прямую линию, соединяя точку О с концом ординаты h = zK = 2 м, отложенной вверх от оси абсцисс по вертикали, проходящей через опору А. 

3. На проведенную прямую МО и ее продолжение сносим по вертикалям сечение K-K и средний шарнир С (точки К и С'). Отре­зок прямой КС' является средней прямой линии влияния.

4. Соединяя точку К с нулевой ординатой под опорой А, а точку С' с нулевой ординатой под опорой В, получаем левую (АК) и правую (C'В) прямые линии влияния MK .

Построенная таким образом линия влияния MK показана на рис. 1.25, б.

3.2. Построение линии влияния QK . Эту линию влияния строим также способом нулевых точек в следующем порядке:

1. Определяем положение нулевой точки линии влияния QK . Для этого проводим из точки А прямую, параллельную касательной к оси трехшарнирной арки в сечении K-K, до пересечения с пря­мой, соединяющей точки В и С (рис. 1.25, а), а затем точку их пе­ресечения О1 проектируем на ось абсцисс линии влияния (рис. 1.25, в). Полученная точка О1 и является нулевой точкой линии влияния QK . Расстояние ее от левой опоры определяем по формуле

м.

2. Откладываем на левой опорной вертикали положительную ординату h = cos jK  = 0.555 (отрезок AD) и проводим прямую DO1.

3. Через нулевую ординату под опорой А (точка А) проводим прямую АN, параллельную DO1.

4. На параллельные прямые AN и DO1 проектируем сеч. K-K (точки Е и F) и получаем левую прямую AF линии влияния. Если прямая DO1 не пересекается с вертикалью, проходящей через сред­ний шарнир С, продолжаем прямую DO1 до пересечения с этой вертикалью и получаем точку C¢¢. Соединив точку C¢¢ c нулем под опорой В (точка В), получим правую прямую (C¢¢В) линии влияния QK . Прямая линия, соединяющая точки Е и C¢¢, является средней прямой линии влияния QK , а прямая EF носит название соедини­тельной прямой линии влияния QK .

3.3. Поcтpоение линии влияния NK . Линию влияния NK  cтpоим также cпоcобом нyлевых точек в cледyющем поpядке.

1. Hyлевyю точкy О2 линии влияния NK  находим как пpоекцию на оcь абcциcc линии влияния точки пеpеcечения пpямой, пpове­денной из точки А пеpпендикyляpно каcательной к оcи аpки в cечении K-K (АО2), c пpямой, пpоведенной чеpез пpавyю опоpнyю точкy В и cpедний шаpниp C (pиc. 1.25, а, г).

Hа pиc. 1.25, г нyлевая точка О2 pаcположена за пpеделами дан­ного чеpтежа. Раccтояние этой точки от левой опоpы опpеделяем по фоpмyле

м,

где l = 16 м;

2. Откладываем ввеpх на левой опоpной веpтикали оpдинатy h = sinjK = 0.832 (отpезок АL). Cоединив точкy L c нyлевой точкой

O2 пpямой линией и пpодолжив ее (еcли это необходимо) до пеpе­cечения c веpтикалью, пpоходящей чеpез cpедний шаpниp (т. C'''), полyчаем пpямyю LC'''O2. В нашем пpимеpе точка О2 находитcя пpавее опоpы А на pаccтоянии 48 м от нее и поэтомy на чеpтеже не показана (рис. 1.25, г).

3. Чеpез нyль опоpной веpтикали (точка А) пpоводим линию, паpаллельнyю пpямой LC'''O2.

4. Hа эти паpаллельные пpямые пpоектиpyем cечение K-K (точки T и S). Полyченная пpямая AS ноcит название левой пpя­мой, TS - cоединительной пpямой, а отpезок пpямой TC''' - cpед­ней пpямой линии влияния NK .

5. Cоединив точкy C''' c нyлем под пpавой опоpой, полyчаем пpавyю пpямyю (пpямая C'''В) линии влияния NK .

studfiles.net

2.4. Расчет трехшарнирных арок

2.4.1. Основные понятия

Трехшарнирная арка представляет собой составную систему, образованную из двух дисков, прикрепленных к земле опорными шарнирами А и В и соединенных друг с другом ключевым шарниром С (рис. 2.9, а).

В дальнейшем ограничимся рассмотрением арок, загруженных вертикальной нагрузкой, у которых опорные шарниры находятся на одной горизонтали, а ключевой шарнир расположен симметрично относительно опор.

Расстояние l между опорами арки называется ее пролетом, а высота fС, на которой расположен соединительный шарнир С – стрелой подъема арки.

Арка является типичным представителем распорных систем, у которых под действием приложенной вертикальной нагрузки появляются не только вертикальные, но и горизонтальные составляющие опорных реакций, называемые распором (рис. 2.9, б).

Определение опорных реакций арки не отличается от определения опорных реакций трехшарнирной рамы (пример 2.5) или арочной фермы (пример 2.7):

MА = 0;  VВ = (1/l) Pi ai ;

MВ = 0;  VА = (1/l) Pi (l  ai);

X = 0;  HA = HB = H;

MC(AB) = 0;  H = HA = (1/fС)[VА(l/2) Pi ( l/2  ai)].

Каждой арке можно поставить в соответствие балку с пролетом, равным пролету арки, которая загружена той же нагрузкой, что и арка (рис. 2.9, в). Очевидно, что реакции такой балки будут равны вертикальным реакциям арки:

VАБ = VА; VВБ = VВ,

поэтому последнее выражение для распора арки можно записать в виде:

H = MСБ/fС , (2.1)

где MСБ = [VА(l/2) Pi(l/2  ai)]  балочный изгибающий момент под шарниром С, то есть изгибающий момент в сечении x = l/2 соответствующей балки.

Чтобы выяснить, в чем состоит преимущество арки перед соответствующей ей балкой, перейдем к определению внутренних усилий в арке.

2.4.2. Внутренние усилия в арке

Рассмотрим арку в системе координат Оху, где начало отсчета связано с опорой А (рис. 2.9, г) и обозначим через y = f(x) функцию, описывающую очертание оси арки. Проведем сечение на расстоянии х от этой опоры и рассмотрим часть арки слева от сечения.

Рис.2.9

Введем локальную систему отсчета с ортами N и nQ, и обозначим через  угол, который орт  составляет с осью Ох. В отличие от принятого ранее правила (§ 2.2.1) положительным будем считать момент, соответствующий растянутым нижним волокнам арки, то есть так, как принято в сопромате. Это сделано для удобства сравнения изгибающего момента в арке с изгибающим моментом в соответствующей балке.

Из условия равновесия левой части арки получим:

M (лев) = 0;  M(x) = [VАx Pi ( x  ai)]  H f(x),

или, иначе:

M(x) = M(х)Б  Hf(x) , (2.2)

где M(х)Б = [VАxPi(x  ai)]  балочный изгибающий момент в сечении x.

Последняя формула означает, что при одинаковой нагрузке изгибающие моменты в арке меньше изгибающих моментов в балке соответствующего пролета на величину H f(x), что наглядно показано на рис. 2.9, д, е.

Это обстоятельство позволяет применять арки для перекрытия больших пролетов – порядка десятков метров. При этом отношение высоты сечения такой арки к длине перекрываемого пролета, как правило, не превышает 1/100. Ни фермы, ни балки не позволяют достичь такого результата.

Для определения поперечной силы в арке составим уравнение:

Sn(лев) = 0;  Q(x) = (VА Pi)cos  Hsin,

или, иначе

Q(x) = Q Б (x)cos  Hsin , (2.3)

где QБ (x) = VА Pi  поперечная сила в соответствующей балке.

Таким образом, при одинаковой нагрузке поперечная сила в арке меньше поперечной силы в балке соответствующего пролета.

Чтобы определить продольную силу составим уравнение:

(лев) = 0;  N(x) =  [(VА Pi) sin + Hcos].

Найденную продольную силу также можно представить в виде:

N(x) =  [QБ (x)sin + Hcos]. (2.4)

Последняя формула показывает, что уменьшение изгибающего момента и поперечной силы в арке по сравнению с соответствующей балкой достигается за счет появления продольной силы, которая, как следует из (2.1) будет особенно значительной для арок с небольшим отношением fC /l.

Таким образом, в арке, как и в раме, в общем случае появляются все три составляющих внутренних усилий: M, Q и N .

studfiles.net

Статический расчет трехшарнирной арки

Трехшарнирная арка представляет собой статически опре­делимую распорную систему, состоящую из двух полуарок, со­единенных между собой и поверхностью земли шарнирами. Опорные шарниры А и В обычно называют пятовыми, а средний С - ключевым (рис. 16).

Характерной особенностью распорных систем является на­личие горизонтальных составляющих опорных реакций (распо­ры) при действии вертикальной нагрузки.

Трехшарнирные арки могут иметь опорные шарниры на одном и разных уровнях. Одна из шарнирно-неподвижных пято­вых опор может быть заменена шарнирно-подвижной с верти­кальным опорным стержнем. В этом случае для обеспечения гео­метрической неизменяемости вводится затяжка-стержень, кото­рый воспринимает распор (рис. 17).

Для трехшарнирной арки с опорами в одном уровне харак­терными величинами являются длина пролета l (расстояние меж­ду опорами А и В), размеры левой и правой полуарок l1 и l2, стре­ла подъема f.

Рис. 16

Рис. 17

Сечение k определяется координатами хk, уk, а также углом наклона касательной к оси арки φk. В сечениях трехшарнирной арки возникают изгибающие моменты, перерезывающие и про­дольные усилия. Изгибающий момент считается положительным, если растягивается нижнее волокно арки.

Положительно опреде­ленная поперечная сила поворачивает часть конструкции, на ко­торую действует, по часовой стрелке. Положительная продольная сила растягивает ось арки.

Аналитический расчет трехшарнирной арки включает в се­бя определение опорных реакций VA, VB, H, определение внутрен­них усилий Mk, Qk, Nk в произвольном сечении, построение эпюр Mk, Qk, Nk. Опорные реакции и внутренние усилия в арке опреде­ляются из соотношений:

Здесь через V°A, Q°B, M°k, Q°k обозначены соответствующие величины для однопролетной балки, лежащей на шарнирных опорах, перекрывающий пролет l и загруженных такой же попе­речной нагрузкой, что и арка.

Если сечение К расположено справа от шарнира С, то в формулах (6) нужно перед слагаемым с множителе SIN(X) поменять знак на противоположный.

На рис. 18 представлена расчетная схема трехшарнирной арки.

Кинематический анализ арки выполняется аналогично со­ответствующему разделу п. 1.1. Арка составлена из двух дисков АС и BC и имеет в своей структуре один шарнир C и четыре связи (шарнирно-неподвижные опоры A и B). Таким образом:

W = 3D – 3Ш - C0 = 3∙2 - 2∙1- 4 = 0.

Далее, два упомянутых диска AC и BC соединены между со­бой и с основанием тремя шарнирами A, B, C, которые не лежат на одной прямой.

Рис. 18

Определяем опорные реакции в арке:

(равновесие левой полуарки)

(равновесие правой полуарки)

Результаты последующего расчета оформлены в табл. 2.

Таблица 2

N

Коор­динаты [М]

φk

sin φk

cos φk

[kH∙м]

[kH]

Mk

[kН∙м]

Qk

[kH]

Nk

[kH]

хк

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

А

0

0

63,43

0,8944

0,4472

0

65

0

-2,236

-73,788

а

1

2

63,43

0,8944

0,4472

60

55

-10

-6,708

-64,844

b-

2

4

63,43

0,8944

0,4472

110

45

-30

-11,18

-56,08

B+

2

4

26,57

0,4472

0,8944

110

45

-30

24.596

-51,428

c

4

5

26,57

0,4472

0,8944

180

25

5

6,708

-42,4841

С-

6

6

26,57

0,4472

0,8944

210

5

0

-11,18

-33,54

C+

6

6

-26,57

-0,4472

0,8944

210

5

0

20,124

-29,068

d

8

5

-26,57

-0,4472

0,8944

220

5

45

20,124

-29,068

-45

-24,596

-51,428

e-

10

4

-26,57

-0,4472

0,8944

130

-45

-10

-24,596

-51,428

e+

10

4

-63,43

-0,8944

0,4472

130

-45

-10

11,18

-55,90

g

11

2

-63,43

-0,8944

0,4472

85

-45

15

11,18

-55,90

В

12

0

-63,43

-0,8944

0,4472

40

-45

40

11,18

-55,90

Рис. 19

Сечения назначены в середине и на концах каждого из стержней, образующих ось арки (см. обозначения на рис. 18). На рис. 19 (а, б) представлены эпюры и для соответствую­щей балки, перекрывающей данный пролет и несущей заданную поперечную нагрузку. На рис. 18(в, г, д) представлены эпюры внутренних усилий Mk, Qk, Nk в исходной трехшарнирной арке, которые построены в отрезках прямых линий. Точность в очерта­ниях эпюр зависит от количества назначенных сечений. Скачки на эпюрах Qk и Nk при переходе через сечения в, с и е объясняют­ся резким изменением значений тригонометрических функций угла φk.

Обращаем внимание на существенное уменьшение значе­ний ординаты арочных эпюр Мk и Qk по сравнению с балочными и .

Подберем поперечные сечения арки и балки из условия прочности.

Двутавровый профиль №50 по ГОСТ 8239-72: Wx=1589 см3; F=100 см2; 1х=39727см4.

Для арки необходима проверка условия прочности с уче­том действия продольной силы:

Превышение над значением [σ]=160 МПа составляет 7,19%.

Поэтому, для арки назначаем следующий номер профиля - 24а, для которого Wx=317 см3; F=37,5 см2; Ix=3800 см4.

Сравним вес запроектированных конструкций:

Q6 = 7,85 - 100∙12∙10-3 =9,42 kH

QA = 7,85∙37,5∙4∙ 4,47∙10-3 = 5,26 kH

Таким образом, вес арки составляет 55,9% от веса балки.

studfiles.net


Смотрите также